Υπόθεση - Εικασία

Ξέρει κανείς τη διαφορά που έχουν στα Μαθηματικά οι λέξεις "υπόθεση" και "εικασία"?
Γιατί π.χ. λέμε "Εικασία του Γκόλντμπαχ" και γιατί "Υπόθεση Riemann"?

Και τώρα που το σκέφτομαι... Εγώ υπέθεσα ή είκασα ότι οι δύο λέξεις έχουν όντως διαφορά?

μάλλον ούτε είκασες ούτε υπέθεσες...μιαν απλή ερώτηση έθεσες!
και δεν έχω απάντηση, αν θυμάσαι το συζητήσαμε και στη λέσχη δια ζώσης...
Ελπίζω να απαντήσει κάποιος καθαρόαιμος μαθηματικός, κάποιος από Πάτρα ίσως

Από το blog "TILL: THE BLOG" :

• Μια θεωρία είναι ένα οργανωμένο σύνολο αρχών, κανόνων και επιστημονικών νόμων, που αποσκοπούν στην περιγραφή και στην ερμηνεία ενός συνόλου δεδομένων.
  
• Μια υπόθεση είναι κάτι που θεωρεί κάποιος ως δεδομένο, προκειμένου να καταλήξει σε ένα συμπέρασμα, το οποίο με την σειρά του θα επιβεβαιώσει ή όχι την αρχική υπόθεση.
  
• Η εικασία τώρα, είναι μια αυθαίρετη υπόθεση, ένα όχι βεβαιωμένο συμπέρασμα στο οποίο οδηγείται κάποιος.
  
• Τέλος, όσον αφορά το παραμύθι, στην χώρο της επιστήμης τουλάχιστον, δεν είναι παρά μια «ποιητική αδεία» αφήγηση η οποία δεν εξαρτάται από τους όρους της πραγματικής ζωής, και η οποία σποσκοπεί συνήθως στην τέρψη του αναγνώστη.

Δεν ξέρω αν σας κάλυψα, εμένα όχι απόλυτα. Απλά τα παραθέτω ως στοιχεία...

Το ότι μιλάμε για μία 'υπόθεση' αντί για μία 'εικασία' έχει διαφορά. Όταν ο Cantor διατύπωσε για πρώτη φορά την πρόταση αυτή, τη διατύπωσε ως εικασία, δηλαδή ως μία πρόταση που είτε θα αποδειχθεί ότι ισχύει -όπως πίστευε και ο ίδιος- ή αντίθετα ότι δεν ισχύει. Αυτό έγινε φερειπείν με το τελευταίο θεώρημα του Fermat: όταν το διατύπωσε πίστευε ότι ισχύει - βέβαια πίστευε ότι το είχε αποδείξει κιόλας, αλλά αυτό είναι άλλο ζήτημα. Το γεγονός ότι δεν είχαμε στα χέρια μας την απόδειξη της πρότασης ήταν που την ανήγαγε σε 'εικασία'. Τώρα πλέον που αποδείχθηκε η ισχύς της, κατοχυρώθηκε ως θεώρημα - αν και καταχρηστικά ονομαζόταν έτσι και πρωτύτερα.

Από την άλλη, η εικασία του συνεχούς, όπως απέδειξαν ο Godel και ο Cohen, δεν είναι δυνατό να δειχθεί ούτε ότι ισχύει ούτε ότι δεν ισχύει. Δηλαδή δεν θα μπορέσουμε ποτέ να αποδείξουμε την υπόθεση του συνεχούς ούτε και την αντίθετη πρόταση, δηλαδή την άρνησή της. Συνεπώς το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να βασιστούμε στη διαίσθησή μας και να υποθέσουμε ότι ισχύει ή ότι δεν ισχύει. Εξ ου και η 'υπόθεση'."

πηγή : Καντοριανά Ταξίδια - Βασίλης Καράδαης
http://www.altfactor.ath.cx/library/stuff/cantoriana_taxidia.html


Αν κατάλαβα καλά,
Ξεκικάμε με μία εικασία.
Αν καταφέρουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει, θα έχουμε ένα θεώρημα.
Αν καταλήξουμε στο ότι δεν πρόκειται ποτέ να αποδείξουμε ούτε την εικασία ούτε την άρνησή της, θα έχουμε μία υπόθεση.
Άρα ξεκινάμε από εικασίες και καταλήγουμε είτε σε Θεωρήματα, είτε σε υποθέσεις. Σωστά !?

Επομένως , η υπόθεση Ρίμαν γιατί να είναι υπόθεση ? Έχουμε βρει ότι δεν αποδεικνύεται ?

Αυτό που καταλαβαίνω απ' αυτά που παρέθεσες είναι ότι η "Υπόθεση" είναι πιο "ισχυρή" από την "Εικασία". Η "Υπόθεση" είναι "σχεδόν σίγουρο" ότι είναι αληθής πρόταση ενώ η "Εικασία" "πιστεύουμε" ότι είναι αληθής, αλλά δεν είμαστε βέβαιοι ότι στο τέλος θα αποδειχθεί αληθής.
Από την άλλη όμως γιατί οι μαθηματικοί νιώθουν την ανάγκη να εκφράσουν με διαφορετικό τρόπο κάτι που δεν είναι βέβαιο και αναμένει απόδειξη
Η όλη ιστορία μου φέρνει στο μυαλό και τις λέξεις "Αίτημα" και "Αξίωμα". Γιατί η, κατά τα άλλα λιτή, μαθηματική γλώσσα χρειάζεται δύο λέξεις για την ίδια έννοια

Το μόνο που μπορώ να πω κι ίσως φωτίσει λίγο τη θέμα είναι ότι όταν κάνουμε μια υπόθεση, θέτουμε μία γνώμη κάτω από κάποιες συνθήκες τις οποίες γνωρίζουμε(υπο+θετω). Όταν εικάζουμε, θέτουμε μία γνώμη αυθαίρετα, γιατί έτσι μας φαίνεται, μας μοιάζει(εικάζω<είκω=μοιάζω). Φυσικά οι δύο λέξεις έχουν πολύ κοντινή σημασία, όμως δεν είναι ταυτόσημες. Κατά τη γνώμη μου, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τη μία αντί της άλλης άλλοτε εν γνώση τους κι άλλοτε ασυναίσθητα.

valiousa,

είναι η πιο πειστική εξήγηση που έχω ποτέ ακούσει για το θέμα!
Τελικά νομίζω πως καίτοι "μη μαθηματικός", θα μας λύσεις τα περισσότερα προβλήματα!

valiousa μου άρεσαν πολύ τα σχόλιά σου για τη "υπόθεση" και την "εικασία"

valiousa έγραψε:Κατά τη γνώμη μου, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τη μία αντί της άλλης άλλοτε εν γνώση τους κι άλλοτε ασυναίσθητα.

Θα συμφωνήσω και με το τελευταίο σου σχόλιο. Οι μαθηματικοί μάλλον επιλέγουν την λέξη που τους "κολλάει" περισσότερο και μερικές φορές επιλέγουν διαφορετική λέξη από γλώσσα σε γλώσσα. Ενώ, στις περισσότερες γλώσσες η ακριβής μετάφραση είναι "Υπόθεση Riemann" οι Γερμανοί χρησιμοποιούν την φράση "Die Riemannsche Vermutung" από το ρήμα vermuten- "εικάζω"
Δείτε κι αυτό: αντιγραφή από το βιβλίο "Υπόθεση Riemann" του Derbyshire (σελ 310): "Η Υπόθεση του Λίντελεφ είναι μία ονομαστή εικασία σχετικά με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν"

likan έγραψε:
Δείτε κι αυτό: αντιγραφή από το βιβλίο "Υπόθεση Riemann" του Derbyshire (σελ 310): "Η Υπόθεση του Λίντελεφ είναι μία ονομαστή εικασία σχετικά με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν"

τέλειο! είναι αυτό που λέμε "δύο σε ένα"! Μπράβο likan


Κι επίσης μπράβο στη valiousa που έριξες φως στο...σκοτεινό δωμάτιο μας!
Τελικά μήπως έχουν δίκιο όσοι λένε πως οι μαθηματικοί θέλγονται τόσο πολύ από τα προβλήματα σε σημείο που, όταν δεν υπάρχει πρόβλημα, δημιουργούν μόνοι τους ένα

Γειά χαρά παιδιά!

Πρώτη καταχώριση στο ενδιαφέρον φορουμάκι σας ---το οποίο δέν έχω περιδιαβάσει μέχρι στιγμής παρά ελάχιστα, αλλα παρόλ'αυτά ο λόγος ύπαρξής του μ'έκανε να γραφτώ αμέσως.

Να πώ τη γνώμη μου πάνω στο ερώτημα της Νίνας ως (για την ώρα) ενεργός μαθηματικός. Θα μιλήσω και κάπως τεχνικά, για όποιον έχει την όρεξη.

Μία μαθηματική θεωρία, εδώ και πολλές δεκαετίες στα πλαίσια της μαθηματικής λογικής, βασίζεται σε ένα ζεύγος «γλώσσας» και «λογισμού». Η γλώσσα είναι απλά ένα σύνολο απο αποδεκτά σύμβολα (στη λογική πρέπει κανείς να είναι τόσο ψείρας που να κατονομάζει με τη μεγαλύτερη δυνατή σαφήνεια τα μέσα που χρησιμοποιεί), όπως => για τη λογική συνεπαγωγή, ποσοδείκτες Α «για κάθε» και Ε «υπάρχει» (τα οποία φυσικά τα γράφουμε ανάποδα, απλά δέν μπορώ εδώ εύκολα να το κάνω), καθώς και γράμματα a, b, c,... για σταθερές, x, y, z,... για μεταβλητές, f, g για συναρτήσεις, ( και ) για τις παρενθέσεις, το σύμβολο = για την ισότητα, το > για την ανισότητα, και λοιπά και λοιπά.

Με τα σύμβολα αυτά της γλώσσας είμαστε σε θέση να διατυπώνουμε με ακρίβεια ισχυρισμούς που αφορούν στη μαθηματική μας θεωρία ---τους ισχυρισμούς αυτούς τους γράφουμε ως φόρμουλες. Πιχί, για τη θεωρία των φυσικών αριθμών, μπορεί κανείς να διατυπώσει τον ισχυρισμό «άν ένας φυσικός αριθμός είναι ίσος με έναν άλλον, τότε και ο δεύτερος είναι ίσος με τον πρώτο» με τη φόρμουλα



ή, τον ισχυρισμό «κάθε φυσικός αριθμός είναι ίσος με το μηδέν», με τη φόρμουλα



Προφανώς, δέν είναι κάθε ισχυρισμός σωστός, άσχετα άν μπορούμε ή όχι να τον διατυπώσουμε με μία φόρμουλα.

Ο λογισμός με τη σειρά του είναι ένα ζεύγος απο «αξιώματα» και απο «κανόνες (συμπερασμού)». Τα αξιώματα είναι φόρμουλες τις οποίες κανείς δέχεται αναπόδεικτα ως αληθείς. Οι κανόνες παραγωγής σου λένε πώς μπορείς απο δοσμένες φόρμουλες να συμπεράνεις νέες. Για παράδειγμα, πάλι για τη θεωρία των φυσικών αριθμών, έχεις το αξίωμα «άν δύο φυσικοί αριθμοί είναι ίσοι τότε και οι προηγούμενοί τους θα είναι ίσοι»



και τον κανόνα συμπερασμού «αν δεχτείς οτι (α) ισχύει ένας ισχυρισμός Χ και (β) απο τον ισχυρισμό Χ συμπεραίνεις τον ισχυρισμό Υ, τότε μπορείς να συμπεράνεις οτι ισχύει ο Υ» (ο κανόνας αυτός είναι γνωστός ως μόντους πόνενς). Μ'αυτά τα δύο μπορούμε να κάνουμε την εξής συνεπαγωγή:



Η μαθηματική θεωρία τελικά ορίζεται να είναι το σύνολο των ισχυρισμών που μπορείς να αποδείξεις οτι αληθεύουν, χρησιμοποιώντας τη δοσμένη γλώσσα και το δοσμένο λογισμό, και μόνον αυτά!


Τώρα, «εικασία» και «υπόθεση» είναι απο τυπική άποψη ταυτόσημα: σημαίνουν καί τα δύο έναν αναπόδεικτο ισχυρισμό (δηλαδή, μιά αναπόδεικτη φόρμουλα). Διαφέρουν όμως σε μεταμαθηματικό επίπεδο: χαρακτηρίζουμε συνήθως εικασία στα μαθηματικά έναν ισχυρισμό που είναι σημαντικός και όχι εύκολος να αποδειχτεί (ακόμη κι'άν η θεωρία στην οποία αφορά είναι ήδη αρκετά ανεπτυγμένη), ενώ λέμε υπόθεση έναν ισχυρισμό ο οποίος μας χρησιμεύει για να αποδείξουμε περαιτέρω ισχυρισμούς. Με άλλα λόγια, μία εικασία είναι συνήθως ένα «τέλος», μία «κορυφή» ας πούμε της θεωρίας, ενώ μιά υπόθεση την χρησιμοποιούμε ως «αφετηρία» και «βάση» για να προχωρήσουμε παραπέρα (ακόμη κι'άν δέν διαθέτουμε ακόμη απόδειξή της!). Είναι λοιπόν διαφορά οπτικής γωνίας, και καθόλου καθαρά τυπική διαφορά.


Τώρα εντάξει, για λόγους παράδοσης και ιστορίας και λοιπά, κάποιες ονόματα μένουν παρά τις εξελίξεις. Η υπόθεση του Κάντορ πιχί λέγεται ακόμα υπόθεση ενώ χρησιμοποιείται πιά ως αξίωμα σε μιά νέα θεωρία συνόλων, ή η εικασία του Φερμά λέγεται ακόμη έτσι, παρότι έχει αποδειχτεί απο τον Γουάιλς (άρα θά'πρεπε να λέμε πλέον «το θεώρημα του Γουάιλς»).

Βασίλη, καλωσόρισες. (αν και ο χώρος καλωσορίσματος είναι αλλού κι ελπίζουμε να περάσεις κι από κει)

Σε ευχαριστούμε πολύ για την τόσο εμπεριστατωμένη απάντησή σου, καθώς το έπιασες το θέμα από την αρχή.
Νομίζω πως, ουσιαστικά, διατύπωσες όλην εκείνη τη -μεταμαθηματική- θεωρία που δεν είχαμε διατυπώσει για να τεκμηριώσουμε τον ισχυρισμό στον οποίο είχαμε ήδη καταλήξει.

Βασίλης έγραψε: Με άλλα λόγια, μία εικασία είναι συνήθως ένα «τέλος», μία «κορυφή» ας πούμε της θεωρίας, ενώ μιά υπόθεση την χρησιμοποιούμε ως «αφετηρία» και «βάση» για να προχωρήσουμε παραπέρα (ακόμη κι'άν δέν διαθέτουμε ακόμη απόδειξή της!). Είναι λοιπόν διαφορά οπτικής γωνίας, και καθόλου καθαρά τυπική διαφορά.

Συνήθως η διαφορά της οπτικής γωνίας είναι που προκαλεί τις αναζητήσεις/συζητήσεις, συμφωνίες/διαφωνίες, συμβάσεις κλπκλπ
Καθώς διάβαζα τις παραπάνω γραμμές και σχηματιζόταν στο κεφάλι μου το "γεωμετρικό τους ισοδύναμο", που -για μένα - ήταν γραμμικό και ήταν περίπου έτσι: δυο μαθηματικές θεωρίες= δυο ευθύγραμμα τμήματα, με διακριτά άκρα, η αρχή του ενός "υπόθεση", το πέρας του άλλου "εικασία", αίφνης τα τμήματα μετατοπίστηκαν και δημιούργησαν μια κλειστή καμπύλη γραμμή και τα άκρα ταυτίστηκαν...
Ήταν τόσο σαφής η τοποθέτηση σου, που την οπτικοποίησα πάραυτα κι αυτό με κάνει να ενισχύω τη θέση του Clαwson πως τα Μαθηματικά μας είναι οπτικοποιημένα!

Και πάλι καλώς όρισες!

Υ.Γ.Είχα την εντύπωση πως το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, τώρα επίσημα λέγεται " θεώρημα Φερμά-Γουάιλς"

Καταρχήν σόρι που μπέρδεψα επάνω τον Λίκαν με τη Νίνα. Τά'γραφα βιαστικά αυτά χθές, δέν ήμουν προσεχτικός.

Την οπτικοποίηση που έκανες Νίνα δέν την κατάλαβα πολύ καλά, άν θές εξήγησέ την λίγο παραπάνω. Χαίρομαι όμως που βοήθησα. Και σίγουρα ο κύριος Κλόουσον (ποιός είν'αυτός αλήθεια;...) έχει απόλυτο δίκιο, εννοείται.

Όσο για το θεώρημα Φερμά--Γουάιλς, έχεις πάλι δίκιο. Αναφερόμουνα σε περιπτώσεις προφορικής αναφοράς στο θεώρημα, οπου απο συνήθεια και παράδοση λέμε ακόμη οι περισσότεροι «εικασία του Φερμά».

Όσα έγραψα επάνω τα είχατε όντως ήδη πεί πάνω κάτω πρίν απο'μένα. Είπα απλά να μας τα κάνω λίγο πιό λιανά. Άν κανείς ενδιαφέρεται παραπάνω για τα τεχνικά του ζητήματος (να μήν ξεχνάμε και το ερευνητικό πρωτόκολλο που μας θέλει να δίνουμε πάντα τις αναφορές...), μπορεί να κοιτάξει το πολύ καλό βιβλίο του Θανάση Τζουβάρα, «Στοιχεία μαθηματικής λογικής», απο τις εκδόσεις του Ζήτη (1998).

Βασίλης έγραψε:

Την οπτικοποίηση που έκανες Νίνα δέν την κατάλαβα πολύ καλά, άν θές εξήγησέ την λίγο παραπάνω.

πολύ λογικό είναι να μην την κατάλαβες πρώτον επειδή είναι πολύ ασαφής και δεύτερον επειδή δεν είχαμε μέχρι τώρα κάποια άλλη σχετική συζήτηση, σε λέσχη π.χ. ώστε να φτάσουμε στο σημείο να "καταλαβαινόμαστε" κάτι που συμβαίνει με όσους συμμετείχαμε δια ζώσης σε λέσχη ανάγνωσης. Στο μέλλον θα φροντίσω να είμαι σαφέστερη.

Βασίλης έγραψε:

Και σίγουρα ο κύριος Κλόουσον (ποιός είν'αυτός αλήθεια;...) έχει απόλυτο δίκιο, εννοείται.

ίσως ανακάλυψες ήδη, περιδιαβαίνοντας την Επιπεδοχώρα, ότι ο Κλόουσον είναι ο συγγραφέας του βιβλίου "ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών", γύρω από το οποίο -και όχι μόνο- συζητάμε οι συμμετέχοντες στο φόρουμ

καλό μήνα

η υποθεση ειναι κατι που χρησιμοποιειται για να αποδειχτει κατι αλλο αλλα δεν ειναι απαραιτητο να εχει αποδειχτει.πολλες προτασεις ξεκινουν ας πουμε με τη φραση "αν ισχυει η υποθεση του riemann τοτε...".ενω η εικασια ειναι μια προταση που δεν εχει αποδειχτει αλλα και δεν χρησιμοποιειται σε αλλα αποτελεσματα (τουλαχιστον οχι συχνα).

ειναι προφανες οτι η λεξη "υποθεση " χρησιμοποιειται για προτασεις με μεγαλη μαθηματικη αξια,ενω η λεξη "εικασια" για ενα καταληκτικο αποτελεσμα που δεν σηματοδοτει παραπερ ερευνα.