ΠΟΣΟ ΟΠΤΙΚΗ ΕΙΝΑΙ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΑΣ ΑΝΤΙΛΗΨΗ;

σελ 77, "...Απεικονίζουμε νοερά τις μαθηματικές σχέσεις αντί να τις ακούμε"

και στη συνέχεια ο Clawson περιγράφει το - καθαρά οπτικό - 5ο αίτημα του Ευκλείδη:
από σημείο εκτός ευθείας μια και μόνο παράλληλη άγεται προς την ευθεία,
περιγράφοντας το με τρόπο που μας δίνει διαδοχικές εικόνες, ώστε στη συνέχεια να αντικαταστήσει τις εικόνες που δημιούργησε με νότες, δηλαδή με ήχους, οπότε... εγώ χάθηκα εντελώς...

Από ό,τι φαίνεται κι ο ίδιος ο συγγραφέας δεν τεκμηριώνει άποψη ή δεν έχει εικόνα ή δεν έχει...ήχο, γιατί λέει:
σελ. 78, "το αν είναι αληθής ή, έστω, έχει νόημα αυτή η αξιωματική πρόταση που αναφέρεται σε ήχους, το αφήνω στην κρίση του αναγνώστη."

υπάρχει κάποιος εκ των αναγνωστών -μεταξύ ημών- που καταλαβαίνει κάτι "ηχητικό" να μας το ερμηνεύσει ή να μας δώσει ένα παράδειγμα;

Η μουσική μου προπαιδεία τείνει στο μηδέν, οπότε θεία δεν έχω άποψη επί του θέματος.Διαβάζοντας το συγκεκριμένο σημείο που αναφέρεις, θεώρησα -λανθασμένα ίσως- πως η απάντηση είναι ναι! Τώρα με έβαλες σε προβληματισμό, και πρέπει να ρωτήσω μερικούς μαθητές μου που ασχολούνται και με τη μουσική...
Αν είναι έτσι όμως, ίσως να υπάρχουν και άλλες μουσικές... "μη-ευκλείδειες" οι οποίες βρίσκονται σε αντίφαση με το 5ο αίτημα του Clawson.

Τώρα εγώ γιατί έχω μπερδευτεί ;
Τελικά τι εξετάζεται στο παρόν θέμα
η οπτική (όρος - κεφάλαιο της φυσικής) και τα μαθηματικά
ή
τα μαθηματικά και το φώς
ή
τα μαθηματικά και πως τα αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος μέσου του οπτικού νεύρου ή μέσω της φαντασίας ή μέσω της οπτικοποίησης -αντανάκλασης της φαντασίας στην περιοχή του εγκεφάλου όπου εδράζεται η όραση
και.... ο τυφλός έχει ή όχι μαθηματική αίσθηση ,μπορεί να μάθει ή να κάνει μαθηματικά ;
ή
τα μαθηματικά και η οπτική τους παράσταση -ζωγραφική
ή
Τα μαθηματικά και η σχέση τους με την ακουστική και
ακολουθούν όλα τα προηγούμενα αλλά σε σχέση με τον ήχο ;

καταπληκτικό!
Δε φανταζόμουν ότι μπορεί να αναλυθεί σε τόσες επιμέρους απορίες/ερωτήσεις το κατά τα άλλα "απλοϊκό ερώτημα" που θέτει ο Clawson!
έχεις δίκιο...αλλά δεν ξέρω τι να απαντήσω.

bilstef έγραψε:Τώρα εγώ γιατί έχω μπερδευτεί ;
Τελικά τι εξετάζεται στο παρόν θέμα
η οπτική (όρος - κεφάλαιο της φυσικής) και τα μαθηματικά
ή
τα μαθηματικά και το φώς

Νομίζω πως απλά πρέπει να το πιάσει κάποιος από την αρχή, αγνοώντας παντελώς τη φυσιολογία του ανθρώπου, καθώς και τα ανθρώπινα μαθηματικά, άρα το "μαθηματικά και φως" μάλλον αποκλείεται

bilstef έγραψε:
ή
τα μαθηματικά και πως τα αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος μέσου του οπτικού νεύρου ή μέσω της φαντασίας ή μέσω της οπτικοποίησης -αντανάκλασης της φαντασίας στην περιοχή του εγκεφάλου όπου εδράζεται η όραση
και.... ο τυφλός έχει ή όχι μαθηματική αίσθηση ,μπορεί να μάθει ή να κάνει μαθηματικά ;
ή
τα μαθηματικά και η οπτική τους παράσταση -ζωγραφική

αυτό πιθανότατα να πρέπει να ληφθεί υπόψη προκειμένου να γίνει η πρώτη υπέρβαση, δηλαδή από τα οπτικοποιημένα μαθηματικά στα, ας πούμε, ηχητικά.

bilstef έγραψε:
ή
Τα μαθηματικά και η σχέση τους με την ακουστική και
ακολουθούν όλα τα προηγούμενα αλλά σε σχέση με τον ήχο ;

τι να πω τώρα?
λες ο Ιάννης να ήταν σε κάποια προηγούμενη ζωή φάλαινα;

http://threesixty360.wordpress.com/2008/01/27/musical-pi-part-1/#more-155
http://www-pub.naz.edu:9000/~mkoetz1/02Quest4P1.mid
η μουσική του π

οφείλω να ομολογήσω πως ...προτιμώ την οπτική μου αντίληψη!
Ο ήχος που άκουσα για το π, στο πρώτο λεπτό μου έφερε πονοκέφαλο!

Ίσως θα έπρεπε να αφήσουμε τα δελφίνια να ασχοληθούν με τη μουσική των μαθηματικών και να τα παρατηρήσουμε για να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα. Αντίθετα όμως τα μαθηματικά της μουσικής είναι κάτι αρκετά πιο χειροπιαστό για εμάς. Αφού δυσκολευόμαστε να μελετήσουμε την f:A->B ας ασχοληθούμε με την (υποθέτουμε πως υπάρχει) αντίστροφη της f^-1:B->A. Μπορεί αυτή να μας πει κάτι.

Τα περισσότερα μουσικά ομμάτια έχουν μία περιοδικότητα, έχουν μία σαφή δομή συνήθως, και ακολουθούνται κάποιοι κανόνες, όχι βέβαια αυστηροί. Ίσως για αυτό nina το π, που έχει τους δικούς του κανόνες, δεν είναι περιοδικό και έχει ακαθόριστη δομή δίνει τέτοιο χάος. Και κάτι ακόμη: Στη βυζαντινή μουσική τα σύμβολα δεν ήταν κάτι απόλυτο δεν υπήρχε η λογική αυτό είναι το ντο ή το ρε. Κάθε "νότα" ήταν εξαρτημένη από την προηγούμενη. Το "ίσο" π.χ σήμαινε κρατάμε τον τόνο ακριβώς όπως είναι τώρα. Και υπήρχαν διάφορες νότες - σύμβολα που λέγανε πόσες "μονάδες" πάνω η κάτω θα πρέπει να πάει ο τόνος στην επόμενη συλλαβή. Όπως οι αναδρομικές συναρτήσεις.
Επομένως πιστεύω ότι η μουσική έχει σχέση με τα μαθηματικά. Τώρα αν μπορέσει κάποιος να δείξει ότι αυτή η σχέση ...αντιστρέφεται θα μας βοηθούσε πάρα πολύ.

Όντως η μαθηματική μας αντίληψη είναι οπτική. Ηχητικά μπορώ να έχω μία μικρή αντίληψη όπως την αναφέρει ο asimeon, όχι όμως κάτι επιπλέον. Με την αφή όμως δε θα μπορούσαμε να έχουμε μία αρκετά καλή αντίληψη, ή έστω μία πιο "απτή" αντίληψη; Μπορεί να μην γνωρίζουμε αν τα ζώα μετρούν ή αντιλαμβάνονται κάποιες μαθηματικές έννοιες, αλλά αν το κάνουν γιατί να το κάνουν όπως εμείς; Αφού διαφέρουμε σε αρκετά σημεία; Κι αν τα δελφίνια με τους ήχους είναι λίγο δύσκολα, δε μπορούμε να στραφούμε στην αφή;

κοίτα, valiousa, έτσι όπως διαβάζω αυτό που γράφεις μου έρχονται σκέψεις όπως:
και γιατί να περιοριστούμε στην αφή? Μετά την όραση η ακοή και η αφή και τέλος!
Αν είναι να το δούμε έτσι, ας συμπεριλάβουμε όλες τις αισθήσεις. Και τότε θα λέμε κάτι περίεργα σαν κι αυτά:
Τι γεύση έχει το εφτά? Τι μυρωδιά το τρία? Πόσο απαλό είναι το οκτώ!

καλά καλά, αστειεύομαι, αλλά από την άλλη είναι δίκιο να αφήνουμε τις δύο από τις πέντε αισθήσεις εκτός παιχνιδιού;


καλό ταξίδι στην tsimuha...που δεν ταξιδεύει με τον Ταξιδευτή, αλλά με το αεροπλάνο!

ναι, ναι... Το ξανασκέφτηκα.
Γιατί να αποκλείσουμε ότι η φαλαινίτσα την ώρα που το στόμα της γεμίζει ψάρια, δε συλλογάται καταπίνοντας: " 3452 νόστιμα μικρά ψαράκια, μμμ νομίζω ότι χόρτασα! "

Είμαι καινούργια και τολμώ , αν μου επιτρέπετε , να δώσω τη δική μου θεώρηση για το ζήτημα. Φανταστείτε έναν στιγμιαίο ήχο ( ντιν) πάνω σε μια νοερή ευθεία. Μακρύτερα απ΄αυτή την ηχητική πηγή φανταστείτε μια δεύτερη που μετακινείται παράλληλα προς τη διεύθυνση της πρώτης, ξεκινώντας από το δεδομένο σημείο. Το ντιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιιι.........ν αυτό είναι η μοναδική παράλληλη ηχητική εκπομπή που μπορεί να υπάρξει προς την αρχική.(Μη γελάσετε δυνατά.... Ακούω!)

alegeor, νομίζω πως κατάλαβες ότι...σου επιτρέπουμε!

προσπάθησα να το φανταστώ, αλλά κάτι δε λειτουργεί καλά με τον ήχο μου!
Το στιγμιαίο ντιν μου βγαίνει μάλλον σα σημείο, οπότε ο "φορέας" του είναι οι άπειρες ευθείες που διέρχονται από αυτό και η δεύτερη ηχητική πηγή, που είναι ιιιιιιιιισυνεχής είναι η ευθεία οπότε μάλλον έχω ξεφύγει από την Ευκλείδεια αφού δείχνει πως καταλήγω στο συμπέρασμα ότι από σημείο εκτός ευθείας άπειρες παράλληλες άγονται προς αυτήν.
Αν δε φταίει το ό,τι είμαι φάλτσα και το ό,τι δεν έχω ιδέα από μουσική, τότε θα πρέπει να δεχτώ πως έχει δίκιο ο koukws

koukws έγραψε:Αν είναι έτσι όμως, ίσως να υπάρχουν και άλλες μουσικές... "μη-ευκλείδειες" οι οποίες βρίσκονται σε αντίφαση με το 5ο αίτημα του Clawson.

Νομίζω κι εγώ πως ο koukws πρέπει να έχει δίκιο... Και το πάω ακόμη παραπέρα(το γενικεύω). Ψάχνουμε τον τρόπο να νιώσουμε τα μαθηματικά που ήδη γνωρίσαμε με την όραση με άλλες αισθήσεις, κι αν τα μη οπτικά μαθηματικά είναι εντελώς διαφορετικά; Αν δεν ισχύει τίποτε από όσα ισχύουν στα δικά μας ανθρώπινα μαθηματικά; Αν δεν υπάρχουν καν ευθείες; Η μόνη ευθεία που μου έρχεται στο νου όταν σκέφτομαι τον φυσικό κόσμο(δηλαδή όχι τα δημιουργήματα του ανθρώπου) είναι ο ορίζοντας. Όμως ούτε αυτός είναι ευθεία! είναι η περιγραφή που κάνει το τετράγωνο(αν θυμαμαι καλά) στην Επιπεδοχώρα για τους κύκλους, ότι στις 2 διαδτάσεις φαίνονται ακόμη κι αυτή ως ευθείες που τα άκρα τους θαμπώνουν(φαίνονται πιο αχνά).
Μήπως στη φύση δεν ισχύει τίποτε από όλα αυτά που νομίζουμε κι έτσι είναι μάταιο να ψάχνουμε αν η φαλαινίτσα, το κοάλα, ο πίθηκος ή το δελφίνι κατανοούν τις παράλληλες ευθείες ή τους φυσικούς αριθμούς;

valiousa έγραψε:
Μήπως στη φύση δεν ισχύει τίποτε από όλα αυτά που νομίζουμε κι έτσι είναι μάταιο να ψάχνουμε αν η φαλαινίτσα, το κοάλα, ο πίθηκος ή το δελφίνι κατανοούν τις παράλληλες ευθείες ή τους φυσικούς αριθμούς;

ίσως και να είναι μάταιο, αλλά αν αποδεχτούμε κάτι τέτοιο- δηλαδή πως είναι μάταιο- πιθανότατα να σταματήσουμε να ψάχνουμε κι αν σταματήσουμε να ψάχνουμε, τότε θα σταματήσουμε και να βρίσκουμε...

Οι αντιληπτικές δυνατότητες είναι περιορισμένες και σαφώς κατώτερες πολλών κατώτερών μας οργανισμών (πχ ακοή σκύλου) . Αυτό σύμφωνα με τους αρχαίους Έλληνες δε συμβαίνει, όταν ο άνθρωπος περάσει σε ανώτερες βαθμίδες πνευματικής εξέλιξης. Εκεί μπορεί ο μαθητής ακολουθώντας το μύστη-δάσκαλο ή ιερέα να βγει από το σώμα του και να δει και να βιώσει τη θεωρεία και το θείο.

alegeor έγραψε: Αυτό σύμφωνα με τους αρχαίους Έλληνες δε συμβαίνει, όταν ο άνθρωπος περάσει σε ανώτερες βαθμίδες πνευματικής εξέλιξης. Εκεί μπορεί ο μαθητής ακολουθώντας το μύστη-δάσκαλο ή ιερέα να βγει από το σώμα του και να δει και να βιώσει τη θεωρεία και το θείο.

Αυτό δεν το έχω διαβάσει πουθενά μέχρι τώρα για τους αρχαίους έλληνες, γνωρίζω πως το υποστηρίζουν κάποιες θρησκείες, όμως αναρωτιέμαι που κολλάει με τα προηγούμενα post!
Αν θα πρέπει να δεχτούμε τόσο αποκρυφιστικές θεωρίες για να διερευνήσουμε το θέμα μας, προσωπικά πιστεύω πως είναι καλύτερα να ασχοληθούμε με άλλο θέμα.
Άλλωστε, ως άνθρωποι που αγαπάμε τα Μαθηματικά, μπορούμε να "λειαίνουμε" λίγο τις θεωρίες μας και με το ξυράφι του Όκαμ!
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9E%CF%85%CF%81%CE%AC%CF%86%CE%B9_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%8C%CE%BA%CE%B1%CE%BC

nina έγραψε:
ίσως και να είναι μάταιο, αλλά αν αποδεχτούμε κάτι τέτοιο- δηλαδή πως είναι μάταιο- πιθανότατα να σταματήσουμε να ψάχνουμε κι αν σταματήσουμε να ψάχνουμε, τότε θα σταματήσουμε και να βρίσκουμε...

Εννοείτε πως δεν θα ήθελα ποτέ να παραδεχτούμε κάτι τέτοιο και να πάψουμε να ψάχνουμε, δεν θα το αντέξω!
Ήθελα να πω ότι είναι μάταιο να ψάχνουμε να βρούμε στα άλλα έμβια όντα ή στις υπόλοιπες αισθήσεις μας τα οπτικά μαθηματικά των ανθρώπων, θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να ανοίξουμε τον ορίζοντά μας και να ψάξουμε και να δεχτούμε πράγματα που να μην συμβαδίζουν με τις δικές μας αλήθειες. Να ξεπεράσουμε εμάς τους ίδιους, να μικρύνουν με το εγώ μας, το ανθρωποκεντρικό μας σύμπαν και να δούμε με τις ασθήσεις των άλλων όντων(ευσεβής πόθος θα μου πείτε...).

ψάχοντας στο google κάτι σχετικό με άρρητους βρήκα το παρακάτω site και κάποιοι ήχοι μου άρεσαν πολύ.
Τελικά, αν το χάος του π προκαλεί πονοκέφαλο, τα σύνολα του MANDELBROT ηχούν ρυθμικά, στην αρχή τουλάχιστον
http://images.google.gr/imgres?imgurl=http://www.ultravires.net/xft.jpg&imgrefurl=http://www.ultravires.net/ensyns.html&h=529&w=528&sz=97&hl=el&start=45&sig2=vrLeugTqqNx5CSI03xn6lQ&tbnid=hA0refkZGXBOHM:&tbnh=132&tbnw=132&ei=kextSLP4BpLg1wbV3sT9Aw&prev=/images%3Fq%3Dirrational%2Bnumber%26start%3D36%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Del%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:el:official%26sa%3DN