ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Είναι όντως πολύ καλύτερο riemann80, όμως θέλω να πεις και κάτι παραπάνω, ανάλυσέ το λιγουλάκι, να δω αν σκεφτόμαι αυτό που λες ή θες να πεις κι όχι "αρλούμπες".

ωχ...
σταθείτε λίγο με μπερδέψατε!

riemann80, μου αρέσει πολύ ο δεύτερος "ορισμός" σου για τα μαθηματικά
μαθηματικα ειναι η τεχνη του να δινεις το ιδιο ονομα σε διαφορετικα πραγματα
αλλά μου φαίνεται πάρα πολύ ... φιλολογικός!!!
Δεν είναι τυχαίο που πρώτη και καλύτερη η γλυκιά valiousa έσπευσε να τον επικροτήσει.

Αυτό που μου αρέσει τελικά σ' αυτό το φόρουμ είναι που μας δίνεται η δυνατότητα να " μελετάμε τα όρια των κλίσεων μας " και να ανακαλύπτουμε πόσο ποιητές μπορούμε να γίνουμε

ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ[i]

εξηγουμαι με ενα απλο παραδειγμα:

1)συμβολιζουμε το εμβαδον κατω απο το γραφημα μιας συναρτησης με το ορισμενο ολοκληρωμα απο α ως β κτλ κτλ..
2)στη συνεχεια αποδεικνυουμε οτι ο ρυθμος μεταβολης του εμβαδου αυτο σε ενα σημειο ισουται με την τιμη της συναρτησης στο σημειο αυτο (αυτο ειναι το θεμελιωδες θεωρημα που λεμε)
3) η ευρεση του ορισμενου ολοκληρωματος (δηλαδη του εμβαδου) περναει μεσα μεσα απο τις παραγουσες (αυτο ειναι το 2ο θεμελιωδες θεωρημα)
4) εδω ειναι αυτο που λεω: συμβολιζουμε την παραγουσα με ολοκληρωμα δηλαδη με το συμβολο του εμβαδου και βαφτιζουμε τις παραγουσες "αοριστο ολοκληρωμα".

εχουμε δωσει το ιδιο ονομα σε δυο εντελως διαφορετικα πραγματα,το εμβαδον και την παραγουσα.και η μαγεια των μαθηματικων εγκειται ακριβως στο οτι αυτη συμβαση δουλευει παραγωγικα και παραγει αποτελεσματα.

βεβαιως η ικανοτητα να προσδιδεις το ιδιο ονομα σε διαφορετικα πραγματα προυποθετει την βαθεια μελετη και την αποδειξη της βαθυτερης σχεης που τα συνδεει.στο παραπανω παραδειγμα ο leibniz σκεφτηκε απλα το εξης απιστευτο

"αφου το εμβαδον περναει απο τις παραγουσες και συμβολιζω το εμβαδον με S τοτε θα συμβολισω και τις παραγουσες με S".

υπαρχουν παμπολλα παραδειγματα που να δικαιολογουν αυτη τη φραση λοιπον (νομιζω την ειπε ο Poincare πρωτος).ειδικα στην αφηρημενη αλγεβρα κατι τετοιο ειναι συνηθες.

riemann80 έγραψε:εξηγουμαι με ενα απλο παραδειγμα:
...............
βεβαιως η ικανοτητα να προσδιδεις το ιδιο ονομα σε διαφορετικα πραγματα προυποθετει την βαθεια μελετη και την αποδειξη της βαθυτερης σχεης που τα συνδεει.στο παραπανω παραδειγμα ο leibniz σκεφτηκε απλα το εξης απιστευτο

"αφου το εμβαδον περναει απο τις παραγουσες και συμβολιζω το εμβαδον με S τοτε θα συμβολισω και τις παραγουσες με S".

Μήπως ο Leibniz απλά όρισε την παράγουσα ως εμβαδό? Μήπως γι αυτόν δεν ήταν δύο διαφορετικές έννοιες που κάποια στιγμή ταυτίστηκαν (όπως στους περισσότερους από εμάς) αλλά μία έννοια?

riemann80 έγραψε: μαθηματικα ειναι η τεχνη του να δινεις το ιδιο ονομα σε διαφορετικα πραγματα.

Προσωπικά δε ξετρελάθηκα και με τον ορισμό αυτό. Νομίζω τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι συμβόλων στο επίπεδο της νόησης που πότε-πότε βρίσκει κάποιες εφαρμογές στον υλικό μας κόσμο. Αλλά, όπως υποστήριξε και ο Hardy "μερικά" χρόνια πριν από μένα: οι πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών δεν είναι και το πιο ενδιαφέρον κομμάτι τους

αυτο δε θα μπορουσε να το κανει διοτι απλουστατα δε γινεται.η παραγουσα ειναι συναρτηση ενω το εμβαδον ειναι αριθμος.δεν υπαρχει σχεση στη φυση των δυο αντικειμενων.σαν μαθηματικα οντα το ενα ειναι προιον της αναλυσης και το αλλο της γεωμετριας.

η αποδειξη του θεμελιωδους θεωρηματος επετρεψε τη χρηση του ιδιου συμβολισμου για τις παραγουσες και τα εμβαδα.ειναι λοιπον σιγουρο οτι προκειται για διαφορετικα πραγματα με το ιδιο ονομα.

Ας μη παίζουμε με τις λέξεις. Νομίζω Riemann κατάλαβες τι εννοώ. Δεν εννοώ την παράγουσα ώς συνάρτηση. Αυτό που είπα είναι ότι ο θετικός πραγματικός αριθμός που προκύπτει από ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (παράγουσα με όρια ολοκλήρωσης από α εώς β) και το εμβαδό ίσως για τον Leibniz να ήταν ταυτόσημες έννοιες. Μέσα στα βάθη του μυαλού του θεωρώ πως καμία έννοια δεν προυπήρξε της άλλης. Απλά, γεννήθηκαν ταυτόχρονα.

σε παραπεμπω στα λογια του ιδιου του leibniz:

"το να βρισκεις εφαπτομενες δε διαφερει σε τιποτα απο το να βρισκεις διαφορές και το να βρισκεις ολοκληρώματα δε διαφερει σε τιποτα απο το να βρισκεις αθροισματα με την προυποθεση οτι οι διαφορες λαμβανονται απεριοριστα μικρες"

και ετσι δικαιολογειται και ο συμβολισμος του ολοκληρωματος απο τον leibniz.το ολοκληρωμα ειναι ενα αθροισμα στην ουσια και το συμβολο του ολοκληρωματος ειναι η επιμικυνση του s απο τη λατινικη summa (αθροιση)

επισης ειναι προφανες οτι η εννοια του εμβαδου προυπηρχε της εννοιας της παραγουσας σε ολους τους μαθηματικους.θυμισου οτι ο αρχιμηδης υπολογισε εμβαδον κατω απο την παραβολη (χωρις παραγουσες εννοειται).δε μπορει λοιπον ο leibniz να αντιλαμβανοταν το εμβαδον ως τη διαφορα δυο τιμων της παραγουσας!!!.απλως απεδειξε τη μεταξυ τους σχεση.δεν ηταν και λιγο ε?

Ωχ! τώρα τα βρήκα σκούρα! Δεν έχω διδαχθεί ολοκληρώματα και δεν κατάλαβα ακριβώς το παράδειγμα, προσπαθώ να το καταλάβω "κατά προσέγγιση" και κάτι μου λέει, αλλά όχι πολλά.
Συμφωνώ με όλους(πως τα καταφέρνω, ώρες ώρες ούτε εγώ δεν ξέρω) με τη θεία-nina που λέει ότι ο ορισμός είναι φιλολογικός, λογοτεχνικός θα έλεγα.
Με τον likan σε αυτό που είπε ότι οι πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών δεν είναι και το πιο ενδιαφέρον κομμάτι τους(Hardy).
Μόνο που ο ορισμός συνεχίζει να μου αρέσει και τώρα ακόμα πιο πολύ διότι είναι αμφιλεγόμενος, προκαλέι αντίδραση, Τέλεια!!!!!!!!
Όσο για το τελευταίο μήνυμα riemann80 ένα έχω να πω: respect! (που λέει και η ανηψιά μου)

οπως οι ανθρωποι στη λεξη "κομπιουτερ" καταλαβαινουν διαφορετικα πραγματα (π.χ το pc ή το τηλεκοντρολ ) ετσι γινεται και στα μαθηματικα.προφανως τα πραγματα εχουν κατι κοινο για να τους εχει δοθει το ιδιο ονομα (στο κομπιουτερ το κοινο ειναι η ιδιοτητα του υπολογισμου).στα μαθηματικα ομως η σχεση μεταξυ των αντικειμενων πρεπει να αποδυκνυεται πρωτα διοτι τα μαθηματικα ποτε δεν εμπιστευονται τα ματια.κανουν λαθος μετρησεις!!

Όχι λάθος μετρήσεις, δεν είναι καλύτερα να πούμε όχι ακριβείς μετρήσεις;(γιατί πολλές φορές αν είναι κάποιος προσεκτικός κάνει καλές μετρήσεις και με τα μάτια, ποτέ όμως ακριβείς). Πρέπει να αποδειχθεί κάθε σχέση όχι μόνο για να έχουμε ακριβείς μετρήσεις(το έχουμε ξαναπεί ότι τα μαθηματικά είναι πολλά περισσότερα από απλές ή πολύπλοκες μετρήσεις), αλλά γιατί αυτό το οικοδόμημα που ονομάζουμε Μαθηματικά στηρίζεται στη Λογική και για να πάρουμε κάτι ως δεδομένο πρέπει να αποδείξουμε ότι έιναι όντως έτσι κι όχι κάπως αλλιώς. Εδώ όμως, στο θέμα της Λογικής μπαίνω σε ξένα χωράφια που έιναι και εξαιρετικά δυσπρόσιτα, οπότε σταματώ εδώ.

Καλησπέρα. Είναι πρώτη φορά που δημοσιεύω επίσημα σε μία συζήτηση της λέσχης. Το θέμα φάνηκε να έχει ενδιαφέρον πραγματικά. Να με συγχωρέσετε παρακαλώ, αν επαναλαμβάνω ιδέες των άλλων, αλλά δεν έχω διαβάσει όλα τα posts.

Ο πιο ρηχός για εμένα ορισμός της έννοιας "μαθηματικά" είναι το σύνολο των θεωριών που έχουν διατυπωθεί (και [θα] διατυπώνονται) με σκοπό την καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει.

Τα μαθηματικά για κάποιους είναι τρόπος ζωής, για κάποιους διασκέδαση, για κάποιους άλλους καταναγκαστική εργασία. Τα μαθηματικά τα αντιμετωπίζω σαν διασκέδαση, αλλά και σαν τρόπο ζωής. Μαθηματικά για εμένα είναι μία επιστήμη που έχει καταφέρει να προσεγγίσει τον κόσμο που μας περιβάλλει με τέτοιο τρόπο, ώστε να τα θεωρώ κομμάτι της ζωής μου.

Ψάξτε στο www.youtube.com για : Tool-Lateralus. Πραγματικά ανατρίχιασα όταν το είδα.

Με εκτίμηση,
Τ.Ε

nasa έγραψε:Καλησπέρα. Είναι πρώτη φορά που δημοσιεύω επίσημα σε μία συζήτηση της λέσχης. Το θέμα φάνηκε να έχει ενδιαφέρον πραγματικά. Να με συγχωρέσετε παρακαλώ, αν επαναλαμβάνω ιδέες των άλλων, αλλά δεν έχω διαβάσει όλα τα posts.
................................................................................

Ψάξτε στο www.youtube.com για : Tool-Lateralus. Πραγματικά ανατρίχιασα όταν το είδα.

Με εκτίμηση,
Τ.Ε

Ειλικρινά χαίρομαι, όπως και οι υπόλοιποι φίλοι του φόρουμ, που αποφάσισες να δημοσιεύσεις και θα χαρώ αν περάσεις και από το "Ας γνωριστούμε"!
Είδα το βίντεο που προτείνεις και είναι πράγματι ανατριχιαστικό. Μια και το πρότεινες, νομίζω πως θα ήταν καλή ιδέα να το "παρουσιάσεις" με δυο λόγια, σε ελεύθερη απόδοση ίσως. Είναι ένα θέμα που σηκώνει πολλή συζήτηση και πολλές ερμηνείες.

καλό απόγευμα

νομιζω πως βρηκα την απαντηση....


μαθηματικα ειναι αυτο



1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Δεν μπορώ να μην συμφωνήσω. Είναι τόσο αρμονικό, τόσο φυσικό και περίεργο ταυτοχρόνως! Όταν έλεγα ότι τα μαθηματικά είναι ποίηση, κάτι τέτοιο εννοούσα. Είναι η φυσική ομορφιά τους, οι πανέμορφες αποδείξεις τους που μοιάζουν τόσο με τα πιο όμορφα ποιήματα. Γιατί όπως σε αυτά δεν μπορείς να αλλάξεις όχι μια λέξη τους, αλλά ούτε ένα πνεύμα, έναν τόνο, έτσι και εδώ πως να αλλάξεις ένα σύμβολο ή έναν αριθμό, θα χαθεί η αρμονία, θα καταρρεύσει όλο το οικοδόμημα. Και στο τέλος όταν σκέφτεσαι ότι αντικατοπτρίζουν τον κόσμο, βλέπεις και τον κόσμο πιο όμορφο και ελπίζεις! Ω, ναι, είναι ΠΟΙΗΣΗ! (μεταφορικά και κυριολεκτικά)

Υ.Γ. Υπόσχομαι να βρω κάτι παραπάνω για το θέμα, το μόνο που έχω μια μακρινή ανάμνηση από το τελευταίο μάθημα της χρονιάς του πρώτου έτους: ο καθηγητής μας έδειξε , ναι, δεν μπερδεύτηκα, δεν διάβασε, δεν απήγγειλε, αλλά έδειξε ένα ποίημα, ήταν ένα σχέδιο, νομίζω ένα σχέδιο γηπέδου. Αυτό ήταν το ποίημα. Άρα, λίγο πολύ αυθαιρετώντας, όσα ανάρτησε ο riemann80 είναι κι αυτά ποίημα αν τα θέσεις στο κατάλληλο πλαίσιο!

νομιζω βαλλια πως υπαρχει μια βασικη διαφορα μεταξυ μαθηματικων και ποιησης...

τις αποδειξεις των μαθηματικων μπορει καποιος να τις εκλαβει ως ποιηση (εμεις ας πουμε) μονο αν εχει ενα σχετικο υποβαθρο πανω στο θεμα.ενω στην ποιηση μπορει να συγκινηθεις ακομα και αν δεν εχεις διαβασει ουτε μιση σελιδα στη ζωη σου.

εγω ας πουμε θα δεχομουν απο καποιον να μου πει "ασε μας μωρε που βλεπεις εξισωσεις και συγκινεισαι"!!
αλλα δυσκολα θα δεχομουν απο καποιον να μου πει "δεν εχω βρει ουτε ενα ομορφο ποιημα".

Γειά σας και από εμένα, καινούργια στο forum και στη flatland αφού σήμερα έπεσα πάνω της τυχαία...
Θα αναρωτηθείτε γιατί κάνω την πρώτη μου δημοσίευση εδώ και όχι στο "ας γνωριστούμε"... Η απάντηση είναι ότι έκανα εγγραφή, μόνο και μόνο για να σχολιάσω αυτό το θέμα!

Δεν θα προσθέσω καμμία καινούρια- ούτε παλιά- άποψη πάνω στο τί είναι τα Μαθηματικά, μάλλον θα κάνω ένα σχόλιο πάνω στο όλο θέμα...

Λοιπόν αυτό το topic είναι μάλλον το μεγαλύτερο του forum, και εδώ έγκειται το σχόλιό μου: Όλοι εσείς ασχοληθήκατε με τον ορισμό μιας απλής (για εμένα) έννοιας που θεωρείται (για πολλούς) δεδομένη!
Για πολλούς, όχι όμως για εσάς!

Τα συμπεράσματα δικά σας γιατί εγώ και να τα έχω, δεν θα τα εκφράσω όσο καλά τους αρμόζει...

Ίσως με τη μορφή ερώτησης να ήταν πιο εύκολο:
Πιστεύετε ότι θα υπάρχει κάτι αντίστοιχο σε ανάλογο forum γιατρών... ή βιολόγων... ή ακόμα και φυσικών, ή χημικών;
Η δική μου απάντηση είναι όχι, δεν πιστεύω ότι άλλος επιστήμονας θα καθόταν να ορίσει την επιστήμη του με τέτοιο τρόπο...
Και αυτό είναι ίσως η επίδραση των Μαθηματικών σε εσάς που ασχολείστε με αυτά (λέω εσάς γιατί εγώ δεν ασχολούμαι), να είναι αυτά που σας δίνουν την ανάγκη να ορίσετε και να επαναπροσδιορίσετε τα πάντα, ακόμα και τα ίδια τα Μαθηματικά...

Για μένα τα Μαθηματικά είναι ακατανόητα, είναι η γλώσσα στην οποία είναι φιαγμένος ο κόσμος και άρα δε χωράνε στο ανθρώπινο μυαλό... 'Οσα χωράνε (όσα δηλαδή έχει ανακαλύψει ο άνθρωπος) είναι ένα τμήμα μόνο των όσων υπάρχουν "εκεί έξω"...
Για μένα πάλι, είναι λάθος προσέγγιση αυτή της "καθαρής επιστήμης" (δηλαδή ότι τα Μαθηματικά μπορούν να σταθούν χωρίς τη συνδρομή καμμίας άλλης επιστήμης), τα Μαθηματικά θα έπρεπε να χρησιμοποιούν τις άλλες επιστήμες για να επαληθευτούν από αυτές, γιατί ναι μεν "υπάρχουν εκεί έξω" αλλά... τα μεταφράζουμε σωστά; Έχουν καλό σήμα οι κεραίες μας ή... τα λαμβάνουμε με "παράσιτα";
Αυτά, μια κατάθεση από κάποια που κοιτάζει με δέος τα Μαθηματικά από μακριά (κοινώς, από μια άσχετη), με κίνδυνο να θεωρηθώ παρανοϊκή...

γεια χαρα,

νομιζω τελικα πως το να δωσουμε εναν αυστηρο ορισμο για το τί ειναι τα μαθηματικα απλως δε χρειαζεται.στην τελικη οσοι ασχολουνται με τα μαθηματικα εχουν ενα πολυ συγκεκριμενο πεδιο δρασης και καποιος θα μπορουσε να ορισει αυτη την επιστημη ως το συνολο ολων αυτων των πεδιων δρασης.δεν ειναι αυτο που μας ενδιαφερει εδω.

πιστυω πως η πραγματικη ερωτηση,που κρυβεται πισω απο ολα αυτα τα ζητηματα περι ορισμου,ειναι γιατι τα μαθηματικα εχουν διαφορετικη επιδραση στους μαθηματικους απο οτι εχει η ιατρικη στους γιατρους,η μηχανολογια στους μηχανικους κτλ κτλ κτλ...η απαντηση βρισκεται κατα τη γνωμη μου στην ιδια τη φυση του αντικειμενου.γιατι καποιος να συγκινειται απο τις εξισωσεις που γραφτηκαν παραπανω? η βαλια λεει πως ειναι θεμα αρμονιας,αισθητικης,και συναφειας με την ποιηση.συμφωνω με ολα αυτα αλλα συνεχιζω να απορω... γιατι καποιος πρεπει να συγκινειται με την αρμονια και οχι με το απολυτο χαος.

ο πλατωνας ισως θα μπορουσε να δωσει πολλες απο τις απαντησεις που ζητας, αφου λες οτι τα μαθηματικα προυπαρχουν και εμεις απλως τα μεταφραζουμε στη γηινη γλωσσα των ανθρωπων.μπορει να ναι και ετσι αλλα εμενα προσωπικα δε με πολυενδιαφερει.το οτι τα μαθηματικα εξηγουν τον κοσμο ειναι κι αυτο δευτερευον..η σκεψη τον εξηγει,η περιεργεια και η αναγκη για επιβιωση και εξελιξη.τα μαθηματικα ειναι συνεπεια ολων αυτων των ανησυχιων,απλως τυχαινει να ναι ομορφα με μια εννοια στα ματια μας.

καλως ηρθες!!

Μαθηματικά: Η εκμάθηση της τέχνης του μανθάνειν.
Ταυτολογία;;; -Όχι: Μαθηματική ακολουθία, ως προϋπόθεση του φιλοσοφείν.
Μαθηματικός (ο όρος εισήχθη υπό του Πυθαγόρα) είναι αυτός ο οποίος την ακολουθεί.
Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα τα μαθηματικά χωρίζονται σε τέσσαρες κλάδους:
Αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία,... αλλά και μουσική, ήτοι παν ότι προστάτευαν οι μούσες...
(Χμμμ...)
Αυτή η τετράς είναι γνωστή και με τον λατινικό όρο quadrivium τον οποίον γνωρίζουν οι λεξικογράφοι αλλά, τον ενθυμούνται ...μόνον όταν τους ερωτήσεις...
Πλείστοι των 'φιλοσόφων' ...αρέσκονται να δηλώνουν άγνοια μαθηματικών.
Πλείστοι των μαθηματικών (και δη των σχολικών) θεωρούν, την φιλοσοφική φύση των Ελλήνων μαθηματικών και την μαθηματική φύση των Ελλήνων φιλοσόφων, ως ...συμπτωματική.
Μετά ταύτα (και πολλά άλλα) είναι εύλογο το ότι επί/ανά/ερωτώμεθα...